Taylorpolynom

Beispiel: Taylorpolynome berechnen

Die Wurzelfunktion $f(x) = \sqrt{x}$ soll durch ein Taylorpolynom 2. Ordnung um den gegebenen Entwicklungspunkt $x_0 = 1$ approximiert werden.

Dazu werden die erste und zweite Ableitung der Funktion gebildet.

$\sqrt{x}$ kann man auch als $x^{\frac{1}{2}}$ schreiben ($\sqrt{2}$ ist zum Beispiel gleich $2^{\frac{1}{2}}$ = 1,4142 gerundet).

f'(x) = $\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}$

f''(x) = $\frac{-1}{4} \cdot x^{-\frac{3}{2}}$

Anschließend wird der Entwicklungspunkt in die abgeleiteten Funktionen eingesetzt:

f'(1) = $\frac{1}{2} \cdot 1^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

f''(1) = $\frac{-1}{4} \cdot 1^{-\frac{3}{2}} =- \frac{1}{4}$

Die Formel für das mit T abgekürzte Taylorpolynom 2. Ordnung lautet (mit 2! für Fakultät von 2 = 2 × 1 = 2):

$$T(x) = f(x_0) + f '(x_0) \cdot (x - x_0) + \frac{f ''(x_0)}{2!} \cdot (x - x_0)^2$$

Mit $x_0 = 1$ eingesetzt:

$$T(x) = \sqrt{1} + \frac{1}{2} \cdot (x - 1) - \frac{1}{8} \cdot (x - 1)^2$$

Kontrolle:

Die Wurzel von 1,1 (einem Punkt nahe dem Entwicklungspunkt von 1) ist laut Taschenrechner 1,048808848.

Mit dem Taylorpolynom:

$$T(1,1) = 1 + \frac{1}{2} \cdot (1,1 - 1) - \frac{1}{8} \cdot (1,1 - 1)^2$$

$$T(1,1) = 1 + 0,05 - 0,00125 = 1,04875$$

Näher kommt man dem tatsächlichen Ergebnis, wenn man höhere Ordnungen des Taylorpolynoms berechnet.

Die Formel für das mit T abgekürzte Taylorpolynom 3. Ordnung (für das man noch die 3. Ableitung benötigt) ist zum Beispiel:

$$T(x) = f(x_0) + f '(x_0) \cdot (x - x_0) + \frac{f ''(x_0)}{2!} \cdot (x - x_0)^2 + \frac{f '''(x_0)}{3!} \cdot (x - x_0)^3$$

Dazu brauchen wir die 3. Ableitung:

f'''(x) = $\frac{3}{8} \cdot x^{-\frac{5}{2}}$

An der Stelle 1:

f'''(1) = $\frac{3}{8} \cdot 1^{-\frac{5}{2}} = \frac{3}{8}$

Zu dem obigen Term beim Taylorpolynom 2. Ordnung kommt dann noch der letzte Term dazu:

$$\frac{\frac{3}{8}}{6} \cdot (1,1 - 1)^3 = 0,0000625$$

Das Ergebnis ist dann: 1,04875 + 0,0000625 = 1,0488125 und noch näher dran am korrekten Ergebnis laut Taschenrechner.