Betrag eines Vektors Definition
Den Betrag eines Vektors erhält man, indem man die Vektorelemente quadriert, anschließend aufaddiert und von der Summe die Wurzel zieht.
Der Betrag eines Vektors a wird als |a| oder ||a|| geschrieben.
Das Ergebnis gilt auch als Länge eines Vektors.
Alternative Begriffe: Euklidische Norm, Norm eines Vektors, Vektorbetrag, Vektorlänge.
Beispiele
Beispiele für Beträge / Längen eines Vektors
Der Betrag des Vektors aus dem Vektor-Beispiel (für die Produktion eines Autos brauchte man ein Lenkrad und 4 Reifen) $$a = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$$ ist $$\vert a \vert = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16}$$
$$= \sqrt{17} = 4,123 \, (gerundet)$$
Eine räumliche Vorstellung: Zeichnet man ein Quadrat mit 2 cm Kantenlänge, geht der Vektor $a = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ vom Ursprung bis zur rechten oberen Kante des Quadrats; der Betrag des Vektors ist dann die Diagonale des Quadrats (Flächendiagonale):
$$\vert a \vert = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4}$$
$$= \sqrt{8} = 2,8284 \, cm$$
Der Betrag lässt sich auch im dreidimensionalen Raum bzw. für einen 3er-Vektor berechnen; räumliche Vorstellung: Zeichnet man einen Würfel mit 2 cm Kantenlänge, geht der Vektor $a = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ vom Ursprung einmal quer durch den Würfel (von der Ecke vorne links unten bis zur Ecke hinten rechts oben); der Betrag des Vektors ist dann die Raumdiagonale des Würfels:
$$\vert a \vert = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2}$$
$$= \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 3,464 \, cm$$